Родилась 28 ноября 1907 года на хуторе Ястребовский Темрюкского отдела Кубанской области, ныне Крымского района Краснодарского края, в семье крестьянина-переселенца из Черниговской губернии.С 1918 года начала трудовую деятельность в родном хуторе, работая в сельском хозяйстве. В 1930 году вступила в колхоз Мерчанского сельского Совета «Дружба». Была рядовой колхозницей, затем - звеньевой. В том же году Анна Никитична вышла замуж и переехала к мужу в Абинский район.
После освобождения Абинского района от немецко-фашистских захватчиков Анна Никитична участвовала в восстановлении разрушенного хозяйства колхоза «Украина». В 1943 году была назначена звеньевой и вскоре вышла в передовики, достигнув довоенного уровня по урожайности зерновых и подсолнечника.
В 1946 году была награждена медалью «За трудовую доблесть».
В 1947 году звено А.Н. Сильченко получило самый высокий в Абинском районе урожай озимой пшеницы. При ручной прополке и косьбе озимых на площади 8 гектаров звено получило 32,11 центнера с гектара.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 мая 1948 года за высокие урожаи пшеницы и кукурузы Анне Никитичне Сильченко присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
В этом же году Анна Никитична переехала с Абинского в Крымский район. Работала звеньевой бригады № 1 колхоза «Дружба».
В последующие годы ее звено продолжало получать высокие урожаи зерновых и овощей.
В 1970 году была награждена медалью «За трудовую доблесть».
Во многом благодаря трудам А.Н. Сильченко и ее звена в 1973 году колхозу «Дружба» вручено Красное Знамя Министерства сельского хозяйства СССР и ЦК профсоюза работников сельского хозяйства.
После выхода на заслуженный отдых Анна Никитична проживала в родном хуторе Ястребовском. Ушла из жизни в 1977 году, похоронена в селе Мерчанском. Её имя увековечено на мемориальной доске на площади Жукова в Краснодаре.